作业帮已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2(a,b∈R),若函数f(x)在x=1处有极值为10,求b的值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 08:37:50
已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2(a,b∈R),若函数f(x)在x=1处有极值为10,求b的值
已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2(a,b∈R),
若函数f(x)在x=1处有极值为10,求b的值
已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2(a,b∈R),若函数f(x)在x=1处有极值为10,求b的值
f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2(a,b∈R),的导函数
f'(x)=3x^2+2ax+b
因为f(x)在x=1处有极值
所以f'(x=1)=3x^2+2ax+b=0成立,即3x+2a+b=0 (1)
又因为x=1时极值为10,所以f(x=1)=x^3+ax^2+bx+a^2=10
即1+a+b+a^2=10 (2)
将（1）（2）式联立为方程组,解得a=-3或a=4
分别带入原方程组求得b=3或-11
f'(x)=3x²+2ax+b，由题意得f‘（1）=0，f（1）=10
即3+2a+b=0
1+a+b+a²=10
解得a=-3 b=3 或 a=4，b=-11
经验证 若a=-3，b=3 则f’（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²，当x＜1或x＞1时，均有f‘（x）＞0，故舍去。
a=4 b=-11 符合题意
故a=4 b=-11
b=3要舍去。因为当b=3时，x=1导数两边的符号均为正，所以此时不是极值点
把f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2(a,b∈R)，
求导得3x^2+2ax+b
把x=1带入求导函数等0
即3+2a+b=0 （1）
因为f(x)在x=1处有极值为10
所以 1+a+b+a^2=10 （2）
由（1）（2）得
a=4或-3 b=-11或3
f(x)‘=3x²+2ax+b
由题意知 f(1)=10 且 f(1)‘=0
则 1+a+b+a²=10 ①
∵f(1)‘=0 ∴3+2a+b=0 ②
联立①② 解得b=0 或-11
经检验 b=-11