如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线与AB交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D,连结PD,求证：PD是⊙I的切线

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 22:26:28

如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线与AB交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D,连结PD,求证：PD是⊙I的切线
如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线与AB交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D,连结PD,求证：PD是⊙I的切线

如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线与AB交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D,连结PD,求证：PD是⊙I的切线
设Z、N为△ABC的内切圆⊙I与AB、AC边的切点,连接MN、ZN、ID、DM、DN
因为AB=AC所以∠B=∠ACB, 因为⊙I是△ABC的内切圆所以∠NMC=∠MNC
MD//AC所以∠MNC=∠DMN,PC垂直于MN.又∠DMB=∠DNM=∠ACB所以∠DMN=∠MDN=
(180°-∠ACB）/2=90°-∠ACB/2,∠ZNM=180°-(180°-∠A）/2-(180°-∠ACB）/2=∠A/2+∠ACB/2
=90°-∠B/2所以∠DMN=∠ZNM所以弧DZ=弧ZM ,弧ZN=弧DM.又PC垂直平分于MN,所以PC垂直平分弧MDN ,PC垂直平分弧DZ,所以PD=PZ,△IDP≌△IZP所以∠PDI=∠PZI=90°,故PD是⊙I的切线.

全部展开

（先假设一条切线,证明它和PD重合即可）
证明过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N.
根据题目，CP为∠ACB的平分线，所以∠ACP＝∠BCP.
又因为PA、PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC.
加上CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.
根据BN、QN均为⊙I的切线,所以NM＝QN，
根据题目BA＝AC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC.
又根据题目MD//AC，所以MD和MQ为同一条直线.
又点Q、D均在⊙I上，所以点Q和点D重合，故PD是⊙I的切线.

收起

在等腰三角形ABC中,AB=AC, 如图在等腰三角形abc中 ab=ac,求证角b等于角c 如图,在△ABC中,AB=AC,角1=角2,试证明△ABC是等腰三角形如图在等腰三角形abc中AB=AC如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,等边三角形ADE的顶点D,E分别落在BC,AC上.若AD=BD,求∠EDC的度数如图1,等腰三角形ABC中,AB=AC,BD垂直AC于点D,求证：∠DBC=1/2∠BAC 如图2,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠如图1,等腰三角形ABC中,AB=AC,BD垂直AC于点D,求证：∠DBC=1/2∠BAC如图2,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°, 如图,在三角形ABC中,AB=AC 若果点B做一条直线能把等腰三角形ABC分成两个等腰三角形求角A的度数如图,在△ABC中,AB=AC.若过B作一条直线,能把等腰三角形ABC分成两个等腰三角形,求∠A的度数. 在等腰三角形abc中,ab＝ac, 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为18 30求AB和BC 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AB=5cm,D为BC上任意一点,DF//AC,DE//AB,求平行四边形AEDF的周长如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE//BC,四边形DBCE是等腰梯形吗?为什么? 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点M、N分别在AB、AC上,且AM=MN=NB=BC,求∠A 在等腰三角形ABC中 AB=AC=8 如图在等腰三角形abc中ab等于ac CD是角平分线且AC一AD=2,求△ABC的周长已知:如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D,E分别为AC,AB上的一点,且BE=CD.求证BD=CE 已知：如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D,E分别为AC,AB上的点,且BE=CD.求证：BD=CE. 已知:如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D,E分别为AC,AB上的一点,且BE=CD.求证BD=CE 已知：如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为点D、E,求证；BE=CD