已知函数f（x）=2的x次方+a.1.对于任意实数x1,x2,试比较（f（x1-1）+f（x2-1））/2与f（（x1+x2）/2-1）的大小

已知函数f（x）=2的x次方+a.1.对于任意实数x1,x2,试比较（f（x1-1）+f（x2-1））/2与f（（x1+x2）/2-1）的大小
已知函数f（x）=2的x次方+a.1.对于任意实数x1,x2,试比较（f（x1-1）+f（x2-1））/2与f（（x1+x2）/2-1）的大小

已知函数f（x）=2的x次方+a.1.对于任意实数x1,x2,试比较（f（x1-1）+f（x2-1））/2与f（（x1+x2）/2-1）的大小
(1)f''(x)=(ln2)^2*2^x>0,故f(x)为下凸函数,根据下凸函数的性质：
f(t1x1+t2x2)≤t1f(x1)+t2f(x2),0≤t1,t2≤1,
则有[f(x1-1)+f(x2-1)]/2=(1/2)*f(x1-1)+(1/2)*f(x2-1)≥f[(1/2)*(x1-1)+(1/2)*(x2-1)]=f[(x1+x2)/2-1]
(2)f(a*x^2-4*x)＞4+a,代入f(x)=2^x+a,既有2^(a*x^2-4*x)>4=2^2,
而g（x)=2^x为单调增函数,故有a*x^2-4*x>2,当a=0时,x0,既有a>6;
若a

f(x1-1)=2*(x1-1)^2+a
f(x2-1)=2*(x2-1)^2+a
所以[f(x1-1)+f(x2-1)]/2=(x1-1)^2+(x2-1)^2+a
=x1^2+x^2^2-2x1-2x2+a+2
而f[(x1+x2)/2-1]
=2*[(x1+x2)/2-1]^2+a
=x1^2/2+x2^2/2+x1x2-2x1-2x2+a+2...

全部展开

f(x1-1)=2*(x1-1)^2+a
f(x2-1)=2*(x2-1)^2+a
所以[f(x1-1)+f(x2-1)]/2=(x1-1)^2+(x2-1)^2+a
=x1^2+x^2^2-2x1-2x2+a+2
而f[(x1+x2)/2-1]
=2*[(x1+x2)/2-1]^2+a
=x1^2/2+x2^2/2+x1x2-2x1-2x2+a+2
然后用作差法。
f（x1-1）+f（x2-1））/2-f（（x1+x2）/2-1）
=x1^2+x2^2-2x1-2x2+a+2-x1^2/2-x2^2/2-x1x2+2x1+2x2-a-2
=x1^2/2+x2^2/2-x1x2
=1/2(x1^2+x2^2-2x1x2)
=1/2(x1-x2)^2
恒大于等于0，因此有
（f（x1-1）+f（x2-1））/2≥f（（x1+x2）/2-1）
本体虽说很简单，但他用复杂的外观迷惑了别人，只要我们撕开那层膜，真相就出来了。

收起

前大于后

前小于后

前者大于等于后者，代入后由基本不等式就知道了嘛