作业帮在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别是A1A,B1B的中点,求直线CM与D1N所成的角.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 11:05:01
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别是A1A,B1B的中点,求直线CM与D1N所成的角.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别是A1A,B1B的中点,求直线CM与D1N所成的角.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别是A1A,B1B的中点,求直线CM与D1N所成的角.
取CC1中点C2,A1MCC2是平行四边形,A1C2／／MC,
连接A1N,D1C2,A1D1／／＝NC2,A1NC2D1是平行四边形,
A1C2＝D1N,且同在平面A1NC2D1上,A1C2与D1N相交于O,
A1C2与D1N所成的角即为直线CM与D1N所成的角.
设正方体棱长为a,则,NC2＝A1D1＝a,A1N＝D1C2＝√5a／2,
A1C2＝D1N＝3a／2,NO＝C2O＝3a／4
COS∠NOC2＝［2（3a／4）²－a²］／2（3a／4）（3a／4）
＝1／9
∠NOC2＝arcCOS∠NOC2＝1/9或NOC2＝180°－arcCOS∠NOC2＝1/9
以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，使A、C、D1落在坐标轴的正半轴上。利用赋值法，设正方体ABCD－AB1C1D1的棱长为2，则有：
C（0，2，0）、M（2，0，1）、D1（0，0，2）、N（2，2，1）。
∴向量CM＝（2，－2，1）、向量ND1＝（－2，－2，1）。
∴向量CM·向量ND1＝2×（－2）－2×（－2）＋1×...
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以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，使A、C、D1落在坐标轴的正半轴上。利用赋值法，设正方体ABCD－AB1C1D1的棱长为2，则有：
C（0，2，0）、M（2，0，1）、D1（0，0，2）、N（2，2，1）。
∴向量CM＝（2，－2，1）、向量ND1＝（－2，－2，1）。
∴向量CM·向量ND1＝2×（－2）－2×（－2）＋1×1＝1。
｜向量CM｜＝√（4＋4＋1）＝3、｜向量ND1｜＝√（4＋4＋1）＝3，
∴cos＜CM、D1N＞＝向量CM·向量ND1/（｜向量CM｜｜向量ND1｜＝1/9。
∴CM、D1N所成的角为arccos（1/9）。
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