若当1≤x≤3时,x²+2ax-1≤0恒成立求a的取值范围.最好分别用代数法和图像法来求出答案,

若当1≤x≤3时,x²+2ax-1≤0恒成立求a的取值范围.最好分别用代数法和图像法来求出答案,
若当1≤x≤3时,x²+2ax-1≤0恒成立
求a的取值范围.
最好分别用代数法和图像法来求出答案,

若当1≤x≤3时,x²+2ax-1≤0恒成立求a的取值范围.最好分别用代数法和图像法来求出答案,
代数法
x²+2ax-1≤0
2ax≤1-x²
因为1≤x≤3,所以a≤(1-x²)/2x 恒成立
令y=(1-x²)/2x,y'=[(-2x*2x)-(1-x²)*2]/4x²=-(x²+1)/2x²
当1≤x≤3时,y'=-1时,y单调递增,当x=3时,y最大值9+6a-1=6a+8≤0,a≤-4/3不满足,舍去
当3≤-a,a≤-3时,y单调递减,当x=1时,y最大值1+2a-1=2a≤0,a≤0满足
当1≤-a≤3,-3≤a≤-1时,y先递减再递增,当x=1时,1+2a-1=2a≤0,a≤0满足
当x=3时,9+6a-1=6a+8≤0,a≤-4/3
所以-3≤a≤-4/3
综上a≤-4/3

分离参数，求得，a《-4/3

x² + 2ax - 1 = 0
x = [-2a ± √(4a² + 4)]/2 = -a ± √(a² + 1)
y = x² + 2ax - 1与的交点为A(-a - √(a² + 1), 0), B(-a + √(a² + 1), 0)（A左)
y = x² + 2ax - 1为开口向上的抛物线<...

全部展开

x² + 2ax - 1 = 0
x = [-2a ± √(4a² + 4)]/2 = -a ± √(a² + 1)
y = x² + 2ax - 1与的交点为A(-a - √(a² + 1), 0), B(-a + √(a² + 1), 0)（A左)
y = x² + 2ax - 1为开口向上的抛物线
若当1≤x≤3时，x²+2ax-1≤0恒成立, 则-a - √(a² + 1) ≤ 1且-a + √(a² + 1) ≥ 3
(1) -a - √(a² + 1) ≤ 1
- √(a² + 1) ≤ 1 + a
√(a² + 1) ≥ -(1 + a)
(i) a ≥ -1
1 + a ≥ 0, -(1 + a) ≤ 0
此时, √(a² + 1) ≥ -(1 + a)总成立
(ii) a < -1
√(a² + 1) ≥ -(1 + a)
a² + 1 ≥ a² + 2a + 1
a ≤ 0, 结合前提a < -1, 得a < -1
(i)(ii)结合, 对于任何实数, √(a² + 1) ≥ -(1 + a)总成立
(2) -a + √(a² + 1) ≥ 3
√(a² + 1) ≥ 3 + a
(i) a ≤ -3
3 + a ≤ 0
√(a² + 1) ≥ 3 + a总成立
(ii) a > -3
√(a² + 1) ≥ 3 + a
a² + 1 ≥ 9 + 6a + a²
6a ≤ -8
a ≤ -4/3
结合前提a > -3, 得-3 < a ≤ -4/3
(i)(ii)结合, 得a ≤ -4/3
(1)(2)结合, 得a ≤ -4/3

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这题太简单，有没有难一点的