作业帮四棱锥P-ABCD的底面ABCD为边长1的菱形,角BCD=60,E是CD中点,PA垂直底面ABCD,PA=2证明平面PBE垂直平面PAB求平面PAD与平面PBE的二面角大小
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 10:32:59
四棱锥P-ABCD的底面ABCD为边长1的菱形,角BCD=60,E是CD中点,PA垂直底面ABCD,PA=2证明平面PBE垂直平面PAB求平面PAD与平面PBE的二面角大小
四棱锥P-ABCD的底面ABCD为边长1的菱形,角BCD=60,E是CD中点,PA垂直底面ABCD,PA=2
证明平面PBE垂直平面PAB
求平面PAD与平面PBE的二面角大小
四棱锥P-ABCD的底面ABCD为边长1的菱形,角BCD=60,E是CD中点,PA垂直底面ABCD,PA=2证明平面PBE垂直平面PAB求平面PAD与平面PBE的二面角大小
1、连结BD,CD=BC,〈BCD=60度,
∴△BCD是正△,
E是CD中点,则BE⊥CD,CD//AB,故BE ⊥AB,
AP⊥平面ABCD,BE∈平面ABCD,
AP⊥BE,
AP∩AB=A,
∴BE⊥平面PAB,
BE∈平面PBE,
∴平面PBE⊥平面PAB.
2、以AB为X轴,AD为Y轴,AP为Z轴,建立空间直角坐标系,则A（0,0,0）,B（0,1,0）,C（3/2,√3/2,0）,
D（1/2,√3/2,0）,P（0,0,2）,E（（1,√3/2,0）,
设平面PAD法向量为n1(1,y,z),
向量AP=（0,0,2）,向量AD=（1/2,√3/2,0）,
向量n1⊥AP,向量n1⊥AD,
向量n1•AP=0+0+2z=0,z=0,
向量n1•AD=1/2+√3y/2+0=0,
y=-1/√3,
向量n1=(1,-1/√3,0),
设平面PDC的法向量为n2=（x,y,1）,
向量DC=（1,0,0）,
向量DP=（-1/2,-√3/2,2）,
同理向量n2⊥DC,向量n2⊥DP,
向量n2•DC=x+0=0,x=0,
-1/2x-√3/2y+2=0,y=4√3/3,
n2=(0, 4√3/3,1),
|n1|=2√3/3,
|n2|=√57/3,
设向量n1和n2的成角为α,
cosα=n1•n2/(|n1||n2)=(-4/3)/[( 2√3/3)*( √57/3)]
=-2/√19
=-2/√19,
法向量成角为钝角,二面角取其补角为锐角,
则二平面所成角为arccos(2/√19).
