【高数】我们可以证明有限个无穷小的代数和仍然是无穷小,那为什么不能得出无限个无穷小的代数和仍是无穷小?怎么证明?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 01:14:33

【高数】我们可以证明有限个无穷小的代数和仍然是无穷小,那为什么不能得出无限个无穷小的代数和仍是无穷小?怎么证明?
【高数】我们可以证明有限个无穷小的代数和仍然是无穷小,
那为什么不能得出无限个无穷小的代数和仍是无穷小?怎么证明?

【高数】我们可以证明有限个无穷小的代数和仍然是无穷小,那为什么不能得出无限个无穷小的代数和仍是无穷小?怎么证明?
因为比如我们知道lim(a_n + b_n) = lim a_n + lim b_n（两个数列的和的极限是它们极限的和）,这告诉我们两个无穷小的和仍是无穷小,因此任何有限个无穷小的和都是无穷小（要严格说的话,可以用归纳法,先把前两个加起来,再加第三个,一个一个加.有限次内加完）.
但是对无限个的和,没有任何结论（归纳法也不起作用）.
实际上求无限个东西的和,求法是先求部分和（前k项和）然后取极限（令k趋于无穷）.但是所谓一个无穷小,以数列为例,指的是一个数列{a_n},它满足lim a_n=0,这个极限过程是n趋于无穷.现在的问题就是如果要把无限个无穷小加起来,那么这个和的定义是先让k趋于无穷,再让n趋于无穷.这个顺序一般不能反过来：往往n趋于无穷的过程和k趋于无穷的过程是不能交换的.施加某些条件（比如“一致性”,你现在大概不关心）,才可以交换这两个极限的顺序.

【高数】我们可以证明有限个无穷小的代数和仍然是无穷小,那为什么不能得出无限个无穷小的代数和仍是无穷小?怎么证明? 怎么证明有限个无穷小的和也是无穷小高数问题（无穷小概念）高数书上描述说:有限个无穷小的和,积是无穷小.那无穷个无穷小的和与积是怎样的情况呢? 想知道如何证明有限个无穷小的乘积还是无穷小呢?求详解为什么“有界函数与无穷小的乘积是无穷小”可以推出“有限个无穷小的乘积是无穷小”? 高数,无穷小,求证明有限个无穷小的积还是无穷小,那么无限个呢?课本上只是说有限个,那么无限个呢?一定是无穷小吗?0是可以作为无限小的唯一常数，0也是无穷小！为什么是“有限个”无穷小的乘积还是无穷小?那无限个又怎样呢?无穷小必定都是小于1的,小于1的数相乘不是更小吗? 线性代数和高数的考研证明题如何才能做出来? 泰勒公式证明高阶无穷小,请问红色那三个式子的意义是什么为什么是5阶无穷小可以列出这3个式子有限个无穷小乘积是无穷小极限运算法则中为何特地说明“有限个无穷小”?有限个无穷小的和是无穷小,有限个无穷小的乘积是无穷小.无穷多个无穷小的和（乘积）与此不同吗,能否作出说明? 高数无穷小的比较关于高数的无穷小, 高数无穷小的阶（高数）谁能解释一下为什么无穷个无穷小的积为什么不是无穷小? 用几何图形可以解决任何代数和高数方程的问题吗? 求个证明:无穷大的数的倒数是无穷小的数