作业帮高二导数题,关于生活实际应用题已知一平板车宽1m,经过宽为2m的直角走廊,恰好卡住,如图,角BAE为θ（1）试用θ表示平板车的长（2）若平板车通过直角走廊,求平板车最长不超过多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 21:03:16
高二导数题,关于生活实际应用题已知一平板车宽1m,经过宽为2m的直角走廊,恰好卡住,如图,角BAE为θ（1）试用θ表示平板车的长（2）若平板车通过直角走廊,求平板车最长不超过多少?
高二导数题,关于生活实际应用题
已知一平板车宽1m,经过宽为2m的直角走廊,恰好卡住,
如图,角BAE为θ
（1）试用θ表示平板车的长
（2）若平板车通过直角走廊,求平板车最长不超过多少?
高二导数题,关于生活实际应用题已知一平板车宽1m,经过宽为2m的直角走廊,恰好卡住,如图,角BAE为θ（1）试用θ表示平板车的长（2）若平板车通过直角走廊,求平板车最长不超过多少?
1、AP==AC-DC=Lcosθ-2,MA=AF/sinθ=1/sinθ,故MP=MA+AP=1/sinθ+Lcosθ-2
而MP=DP/tanθ=2cotθ,故有1/sinθ+Lcosθ-2=2cotθ,解得
L=(2cotθ+2-1/sinθ)/cosθ=(2cosθ+2sinθ-1)/(sinθcosθ)
2、令f(θ)==(2cosθ+2sinθ-1)/(sinθcosθ),显然需求出对所有的0≤θ≤90°的f(θ)的最小值,只要L不超过该最小值,就可以顺利通过.
f(θ)=(2cosθ+2sinθ-1)/(sinθcosθ)=2(2cosθ+2sinθ-1)/(1+2sinθcosθ-1)
=[4(cosθ+sinθ)-2]/[(cosθ+sinθ)^2-1]=4(cosθ+sinθ-1/2)/[(cosθ+sinθ-1/2)^2+(cosθ+sinθ-1/2)-3/4]
=4/[(cosθ+sinθ-1/2)+1-3/4*1/(cosθ+sinθ-1/2)]
由于1≤cosθ+sinθ=√2sin(θ+45°)≤√2,故cosθ+sinθ-1/2≥1/2>0,故f(θ)随着cosθ+sinθ-1/2的增大而严格单调减小,则其最小值必为θ=45°时L的大小.于是
L≤f(45°)=(2cos45°+2sin45°-1)/(sin45°cos45°)=4√2-2≈3.657