作业帮直线与椭圆相交问题直线l:6x-5y-28=0,与椭圆[x（平方）]/[a（平方）]+[y（平方）]/[b（平方）]=1相交于M,N两点,点B（0,b）是椭圆一个顶点,且b为整数,而三角形BMN的重心恰为椭圆右焦点F2,求此椭圆
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 20:54:24
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直线与椭圆相交问题直线l:6x-5y-28=0,与椭圆[x（平方）]/[a（平方）]+[y（平方）]/[b（平方）]=1相交于M,N两点,点B（0,b）是椭圆一个顶点,且b为整数,而三角形BMN的重心恰为椭圆右焦点F2,求此椭圆
直线与椭圆相交问题
直线l:6x-5y-28=0,与椭圆[x（平方）]/[a（平方）]+[y（平方）]/[b（平方）]=1相交于M,N两点,点B（0,b）是椭圆一个顶点,且b为整数,而三角形BMN的重心恰为椭圆右焦点F2,求此椭圆方程.
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直线与椭圆相交问题直线l:6x-5y-28=0,与椭圆[x（平方）]/[a（平方）]+[y（平方）]/[b（平方）]=1相交于M,N两点,点B（0,b）是椭圆一个顶点,且b为整数,而三角形BMN的重心恰为椭圆右焦点F2,求此椭圆
设焦点F2坐标为(c,0),M坐标为(x1,y1),N坐标(x2,y2)
由于F2是△BMN的重心,其横坐标c=(x1+x2+0)/3,纵坐标0=(y1+y2+b)/3
∴x1+x2=3c,y1+y2=-b,
将x1²/a² +y1²/b²=1,x2²/a² +y2²/b²=1两式相减,移项用平方差公式展开得：
(x1-x2)(x1+x2)/a²=-(y1-y2)(y1+y2)/b²
(y1-y2)/(x1-x2)=-(b²/a²)(x1+x2)/(y1+y2)=(-b²/a²)[3c/(-b)]=3bc/a²
由于MN两点都在直线6x-5y-28=0上,所以(y1-y2)/(x1-x2)=6/5
∴6/5=3bc/a²,即2a²-5bc=2b²+2c²-5bc=(2b-c)(b-2c)=0解得b=2c或b=c/2
将MN点坐标代入直线l方程得：
6x1-5y1-28=0,6x1-5y1-28=0两式相加得：
6(x1+x2)-5(y1+y2)-56=0,代入x1+x2=3c,y1+y2=-b,得：
18c+5b-56=0
当b=2c时,解得c=2,b=4符合题意
当b=c/2时,解得b=56/41不是整数,故舍去此解.
所以c=2,b=4,a²=16+4=20
椭圆方程为x²/20 + y²/16 =1
x^2/a^2+y^2/b^2=1
(x2-x1)(x2+x1)/a^2=-(y2-y1)(y2+y1)/b^2
6(x2+x1)/a^2=-5(y2+y1)/b^2 (1)
过点((x1+y1)/2,(x2+y2)/2),(0,b)直线
过点(c,0),
b/c=2(b-(x2+y2)/2)/(x1+y1) (2)
(1),(2)联立求解（a^2=b^2+c^2)