作业帮在三角形ABC中,角B=2角A,BC=2,AB=4,试证明三角形ABC为直角三角形.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 20:19:08
在三角形ABC中,角B=2角A,BC=2,AB=4,试证明三角形ABC为直角三角形.
在三角形ABC中,角B=2角A,BC=2,AB=4,试证明三角形ABC为直角三角形.
在三角形ABC中,角B=2角A,BC=2,AB=4,试证明三角形ABC为直角三角形.
证明：在AB的延长线上取点E,使BE＝BC＝2,连接CE,取AB的中点D,连接CD
∵BE＝BC＝2
∴∠E＝∠ECB
∴∠ABC＝∠E+∠ECB＝2∠E
∵D为AB的中点,AB＝4
∴BD＝AD＝AB/2＝2
∴∠BCD＝∠BDC,AD＝BE
∴∠ECD＝∠ECB+∠BCD＝∠E+∠BDC
∵∠E+∠ECD+∠BDC＝180
∴2（∠E+∠BDC）＝180
∴∠E+∠BDC＝90
∴∠ECB+∠BCD＝90
∵∠ABC＝2∠A
∴∠A＝∠E
∴AC＝EC
∴△ACD≌△ECB （SAS）
∴∠ACD＝∠ECB
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠ECB+∠BCD＝90
∴直角△ABC
因为∠A+∠B+∠C=180°，∠B=2∠A,BC=2,AB=4
所以，AB/sin∠C=BC/sin∠A,4/sin(180°-∠A-∠B)=2/sin∠A,
4/sin(∠A+∠B)=2/sin∠A,4sin∠A=2sin(∠A+∠B),
2sin∠A=sin(∠A+∠B)=sin(3∠A)=3sin∠A-4(sin∠A）^3,
2=3-4(sin∠A）^2,<...
全部展开
因为∠A+∠B+∠C=180°，∠B=2∠A,BC=2,AB=4
所以，AB/sin∠C=BC/sin∠A,4/sin(180°-∠A-∠B)=2/sin∠A,
4/sin(∠A+∠B)=2/sin∠A,4sin∠A=2sin(∠A+∠B),
2sin∠A=sin(∠A+∠B)=sin(3∠A)=3sin∠A-4(sin∠A）^3,
2=3-4(sin∠A）^2,
4(sin∠A）^2=1,
(sin∠A）^2=1/4,
sin∠A=1/2,
∠A=30°，∠B=60°,∠C=90°
所以，三角形ABC为直角三角形
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