数学竞赛题一道一只虫子沿三角形铁圈爬行,在每个顶点,它都等机会爬向另外两个顶点之一,则它爬行n次后恰好回到起始点的概率为?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/15 09:24:43
数学竞赛题一道一只虫子沿三角形铁圈爬行,在每个顶点,它都等机会爬向另外两个顶点之一,则它爬行n次后恰好回到起始点的概率为?

数学竞赛题一道一只虫子沿三角形铁圈爬行,在每个顶点,它都等机会爬向另外两个顶点之一,则它爬行n次后恰好回到起始点的概率为?
数学竞赛题一道
一只虫子沿三角形铁圈爬行,在每个顶点,它都等机会爬向另外两个顶点之一,则它爬行n次后恰好回到起始点的概率为?

数学竞赛题一道一只虫子沿三角形铁圈爬行,在每个顶点,它都等机会爬向另外两个顶点之一,则它爬行n次后恰好回到起始点的概率为?
好熟悉的题……
设n次爬行后到达原来的点的概率为a(n)
可知此时到达另两个顶点的概率为1-a(n)
又知当蚂蚁在另两个点时,会有1/2的概率爬回原来的点
则可得递推公式a(n+1)=1/2(1-a(n))
移项得
a(n+1)-1/3=1/6-1/2a(n)
即a(n+1)-1/3=-1/2(a(n)-1/3)
则a(n)=(a(1)-1/3)(-1/2)^(n-1)+1/3
又知a(1)=0
即a(n)=1/3-1/3(-1/2)^(n-1).

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