求不定积分∫xe^2x*dx 求定积分∫（1,0）dx/2+√x

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 19:48:23

求不定积分∫xe^2x*dx 求定积分∫（1,0）dx/2+√x
求不定积分∫xe^2x*dx 求定积分∫（1,0）dx/2+√x

求不定积分∫xe^2x*dx 求定积分∫（1,0）dx/2+√x
∫xe^2xdx
=1/2∫xe^2xd2x
=1/2∫xde^2x
=(1/2)xe^2x-1/2∫e^2xdx
=(1/2)xe^2x-1/4∫e^2xd2x
=(1/2)xe^2x-(1/4)e^2x+C
∫(1,0)dx/2+√x
令√x=a
x=a²
dx=2ada
x=1,a=1
x=0,a=0
原式=∫(1,0)ada/(2+a)
=∫(1,0)(2+a-2)da/(2+a)
=∫(1,0)[1-2/(2+a)]da
=∫(1,0)[1-2/(2+a)]d(2+a)
=(2+a)-2ln(2+a)(1,0)
=(3-2ln3)-(2-2ln2)
=1-2ln3+2ln2

答：
第一题：
∫xe^(2x)dx
=xe^(2x)/2-∫e^(2x)/2dx
=xe^(2x)/2-e^(2x)/4+C
=(2x-1)e^(2x)/4+C
第二题：
∫0到1 1/(2+√x) dx
设√x=t,则x=t^2,dx=2tdt,对t的积分区域也是0到1。
所以原式
=∫0到1 2t/(2+t) ...

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答：
第一题：
∫xe^(2x)dx
=xe^(2x)/2-∫e^(2x)/2dx
=xe^(2x)/2-e^(2x)/4+C
=(2x-1)e^(2x)/4+C
第二题：
∫0到1 1/(2+√x) dx
设√x=t,则x=t^2,dx=2tdt,对t的积分区域也是0到1。
所以原式
=∫0到1 2t/(2+t) dt
=∫0到1 2-4/(2+t) dt
=2t-4ln|2+t| |0到1
=2-4ln3+4ln2
=2+4ln(2/3)

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