为什么1-cosX和secX-1的极限是X^2/2?怎么推的?求方法

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/08 00:10:30
为什么1-cosX和secX-1的极限是X^2/2?怎么推的?求方法

为什么1-cosX和secX-1的极限是X^2/2?怎么推的?求方法
为什么1-cosX和secX-1的极限是X^2/2?
怎么推的?求方法

为什么1-cosX和secX-1的极限是X^2/2?怎么推的?求方法
应该指的是当x→0时,1-cosx与x²/2是等价无穷小,secx-1与x²/2是等价无穷小
证明如下
lim (1-cosx)/(x²/2)=lim (2-2cosx)/x²=lim 4sin²(x/2)/x²=lim sin²(x/2)/(x/2)²=1
lim (secx-1)/(x²/2)=lim 2(1-cosx)/x²cosx=1
其中用到了重要极限lim sinx/x=1,x→0,以及lim cosx=1,x→0

lim﹙1-cosx﹚=lim[﹙2sin²x/2﹚/﹙x/2﹚²]﹙x²/2﹚=limx²/2
lim﹙secx-1﹚=lim﹙1-cosx﹚/cosx=limx²/2

是等价无穷小