作业帮一道高中数学三角函数题已知：在△ABC中,角A,B,C成等差数列.求证：1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 23:37:45
一道高中数学三角函数题已知：在△ABC中,角A,B,C成等差数列.求证：1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)
一道高中数学三角函数题
已知：在△ABC中,角A,B,C成等差数列.
求证：1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)
一道高中数学三角函数题已知：在△ABC中,角A,B,C成等差数列.求证：1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)
证明：由题知：C-B=B-A,即：A+C=2B,则A+B+C=3B=180°,得B=60°.
若△ABC的三个内角A,B,C所对应的三边分别为：a、b、c,由余弦定理,得
b^2=c^2+a^2-2ca*cosB
=c^2+a^2-2ca*cos60°
=c^2+a^2-2ca*1/2
=c^2+a^2-ca
欲证等式左边：
1/(a+b)+1/(b+c)
=(a+2b+c)/(a+b)(b+c)
=(a+2b+c)/(ab+ac+b^2+bc)=3/(a+b+c).①
于是原题等价于证明①式成立,交叉相乘得：
3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)(a+2b+c)=(a+b+c)[(a+b+c)+b]
3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)^2+b(a+b+c)
3ab+3ac+3b^2+3bc=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca+ba+b^2+bc
整理,得
b^2=c^2+a^2-ca,.②
于是要证:1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)成立,就等价证明②式成立.而②式已经由余弦定理证得.
所以由此倒推即得.
有题目知道B=60度,在用余弦定理列式化简就可以了，字不好打
1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c) ==> c/(a+b)+a/(b+c)=1 ==>
a/sinA =b/sinB =c/sinC ==> b=...
A+B+C=180, 角A，B，C成等差数列 ==> B=60 A+C=120
将a c 用b及sinA sinC代替，约去b
2B=A+C A+B+C=180° B=60°A=30°C=90° b=3分之根号下3 c=2a 带入算 就能得到
三个角分别是30,60,90。为特殊三角形。三边比为1：根号3:2。代入计算。