作业帮斐波拉契数列的通项公式怎么求
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 22:37:03
斐波拉契数列的通项公式怎么求
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斐波拉契数列的通项公式怎么求
斐波拉契数列的通项公式之推导由an+2= an+1+an
有an+2- an+1- an=0
构造特征方程 x2-x-1=0,
令它的两个根是p,q 有pq=-1 p+q=1
下面我们来证 {an+1-pan}是以q为公比的等比数列.
为了推导的方便,令a0=1,仍满足an+2= an+1+an
an+1-pan
= an+an-1 -pan
= (1-p) an-pqan-1
=q(an-pan-1)
所以：{an+1-pan}是以q为公比的等比数列.
a1-pa0
=1-p=q
所以 an+1-pan=q*qn=qn+1 ①
同理 an+1-qan=p*pn=pn+1 ②
①-②:(q-p)an= qn+1-pn
因p=(1-√5)/2,q=(1+√5)/2,q-p=√5,所以 an=(1/√5){[(1+√5)/2]n+1-[(1-√5)/2] n+1} 可验证a0,a1也适合以上通项公式.
顺便指出,上述方法也可用于推导形如 an+2= Aan+1+Ban (A,B是常数)的数列的通项公式.
相应的特征方程是 x2-Ax-B=0.
当a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,……
an+2= an+1+an
{ an}就是著名的斐波拉契数列,通常用{F(n)}表示
F(n)= (1/√5){[(1+√5)/2]n-[(1-√5)/2] n}
它的前n项的和Sn=F(n+2)-1
另外,lim[F(n)/F(n+1)]= [√5-1]/2 (当n趋于无穷时)
用特征根去求。
菲波拉契数列递推项是a(n+2)=a(n+1)+a(n)
讲看a(n+2)为二次项，a(n+1)看为一次项，a(n)为常数项。
变成x^2=x+1
接触X，即为两个特征根
则a(n)=p*x1^n+q*x2^n
p、q通过a1和a2去求。
最后就得到通项公式。