绝对值二重积分问题∫∫(|x|+|y|)dxdy,D:|x|+|y|≤1 x≤0 补充,打不出来,∫∫下面有个D

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/11 21:28:01
绝对值二重积分问题∫∫(|x|+|y|)dxdy,D:|x|+|y|≤1 x≤0 补充,打不出来,∫∫下面有个D

绝对值二重积分问题∫∫(|x|+|y|)dxdy,D:|x|+|y|≤1 x≤0 补充,打不出来,∫∫下面有个D
绝对值二重积分问题
∫∫(|x|+|y|)dxdy,D:|x|+|y|≤1 x≤0 补充,打不出来,∫∫下面有个D

绝对值二重积分问题∫∫(|x|+|y|)dxdy,D:|x|+|y|≤1 x≤0 补充,打不出来,∫∫下面有个D
首先区域D和被积函数都是关于x轴对称的.
因此不妨在D的上半部分:|x|+|y| ≤ 1,x ≤ 0,y ≥ 0计算积分,然后再乘以2.
这个积分区域其实就是-x+y ≤ 1,x ≤ 0,y ≥ 0.
而被积函数在其上可化简为|x|+|y| = -x+y.
x满足0 ≥ x ≥ -1+y ≥ -1,而对给定的0 ≥ x ≥ -1,y满足0 ≤ y ≤ 1+x (画图也许更清楚).
于是二重积分可写为如下累次积分:
∫{-1,0} dx ∫{0,1+x} (-x+y) dy
= ∫{-1,0} -x(1+x)+(1+x)²/2 dx
= ∫{-1,0} (1-x²)/2 dx
= 1/3.
乘以2得∫∫{D} (|x|+|y|)dxdy = 2/3.

这个问题其实是求D的面积,你从二维坐标系上划出丨x丨+丨y丨≤1 x≤0的面积这个面积就是二重积分的结果。或者把二重积分转化为一冲积分来做。罢了,我给你直接算出结果吧,结果是1。要给分啊

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