已知a>b>c,n为整数,且1/(a-b)+1/(b-c)≥n/(a-c)恒成立,求n的最大值(高二数学)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/07 21:06:43
已知a>b>c,n为整数,且1/(a-b)+1/(b-c)≥n/(a-c)恒成立,求n的最大值(高二数学)

已知a>b>c,n为整数,且1/(a-b)+1/(b-c)≥n/(a-c)恒成立,求n的最大值(高二数学)
已知a>b>c,n为整数,且1/(a-b)+1/(b-c)≥n/(a-c)恒成立,求n的最大值(高二数学)

已知a>b>c,n为整数,且1/(a-b)+1/(b-c)≥n/(a-c)恒成立,求n的最大值(高二数学)
n=4
当a-b=b-c=d时
1/(a-b)+1/(b-c)=2/d=4/(a-c)
故n<=4
下面证明n=4时不等式成立
a-b=x,b-c=y,x,y>0
1/x+1/y>=4/(x+y)
1/x+1/y>=2*1/(√(xy))>=2/((x+y)/2)=4/(x+y)
实际上该式就是均值不等式的变形
调和平均<=几何平均<=算术平均
2/(1/a+1/b)<=√ab<=(a+b)/2

[(a-b)+(b-c)][1/(a-b)+1/(b-c)]=2+[(a-b)/(b-c)+(b-c)/(a-b)]>=2+2=4.故n的最大值是4。(其实可以用柯西一步到位的)