作业帮1.证明对于每个正整数n,n^2+5n+16不能被169整除2.正整数a,b,c,d都可以被正整数ab-cd整除,证明ab-cd=13.证明1*2*3*…2001+2002*2003*…4002能被4003整除希望诸位高人多多指点,小女子在这里谢过了
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 10:09:31
1.证明对于每个正整数n,n^2+5n+16不能被169整除2.正整数a,b,c,d都可以被正整数ab-cd整除,证明ab-cd=13.证明1*2*3*…2001+2002*2003*…4002能被4003整除希望诸位高人多多指点,小女子在这里谢过了
1.证明对于每个正整数n,n^2+5n+16不能被169整除
2.正整数a,b,c,d都可以被正整数ab-cd整除,证明ab-cd=1
3.证明1*2*3*…2001+2002*2003*…4002能被4003整除
希望诸位高人多多指点,小女子在这里谢过了
1.证明对于每个正整数n,n^2+5n+16不能被169整除2.正整数a,b,c,d都可以被正整数ab-cd整除,证明ab-cd=13.证明1*2*3*…2001+2002*2003*…4002能被4003整除希望诸位高人多多指点,小女子在这里谢过了
【1解】：
169=13^2,若：n^2+5n+16=0 (mod 169)
则：n^2+5n+16=0 (mod 13)
即：(n+2)(n+3)=3 (mod 13)
解得：n=4 (mod 13)
记n=13k+4,代入得：
n^2+5n+16=(13k+4)^2+5*(13k+4)+16
=169k^2+169k+52=52 (mod 169),矛盾.
所以对于任意正整数n,n^2+5n+16≠0 (mod 169)
得证.
【2解】：
记：ab-cd=m∈N
记：n=1/m=1/(ab-cd)=(ab-cd)/(ab-cd)^2=(a/m)(b/m)-(c/m)(d/m)
因为a=0 (mod m)；b=0 (mod m)；c=0 (mod m)；d=0 (mod m)；
则：n∈Z
又mn=1,所以m=n=1
即：ab-cd=1
故得证.
【3解】：
2002*2003*…4002=(4003-1) (4003-2)……(4003-2001)
根据多项式展开可知：
2002*2003*…4002=(-1)^2001×(2001!) (mod 4003)
所以：1*2*3*…2001+2002*2003*…4002=0 (mod 4003)
故得证.
1，假设能被169整除，则可被13整除
n^2+5n+16=(n+2)(n+3)+10=13*m
(n+2)(n+3)=13*m-10=13(m-1)+3
因为左边为偶数，所以13（m-1）是奇数，m是偶数
而m应被13整除。。。。。。。