作业帮问一下泰勒公式的理解一般比较复杂的函数的泰勒公式展开式 在x0点的展开式 就是 f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+...Fn(x0)/n!(x-x0)n次方 这是带有拉格朗日项的泰勒公式 但是这个公式只是说明了 两
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 12:53:08
问一下泰勒公式的理解一般比较复杂的函数的泰勒公式展开式 在x0点的展开式 就是 f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+...Fn(x0)/n!(x-x0)n次方 这是带有拉格朗日项的泰勒公式 但是这个公式只是说明了 两
问一下泰勒公式的理解
一般比较复杂的函数的泰勒公式展开式 在x0点的展开式 就是 f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+...Fn(x0)/n!(x-x0)n次方 这是带有拉格朗日项的泰勒公式 但是这个公式只是说明了 两个函数在一点有相同的函数和各阶导数 那么为什么满足上述的条件这两个函数就相同的呢 这是由点及面么 我不是很明白呢
一般可以用泰勒公式对一些函数进行近似估计 可是我不是很明白呢 比方说
希望您可以帮助解答一下
问一下泰勒公式的理解一般比较复杂的函数的泰勒公式展开式 在x0点的展开式 就是 f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+...Fn(x0)/n!(x-x0)n次方 这是带有拉格朗日项的泰勒公式 但是这个公式只是说明了 两
1.泰勒展开只是对于一小段区域而言的,不是整体性质.
2.为什么满足那个条件就能使这两个函数那么相似?(因为有一个余项所以不能叫相同)
那个条件的意义是什么你知道吗?
其本质是它们两个函数(记右边的逼近函数为g(x))在x=x0点的函数值相等:f(x0)=g(x0)
1阶导数相等:f'(x0)=g'(x0)
2阶导数相等:f''(x0)=g''(x0)
直到n阶导数都相等:f^(n) (x0)=g^(n) (x0)
这已经是在一点(x=x0)上所能够想到的使两个函数相似的最极致的办法了吧?
如果无法体会那么可以画图想象一下:
先只让f(x0)=g(x0),那么就是在x=x0上两个函数相交而已
那么进一步让f'(x0)=g'(x0),那么在x=x0上便不只是相交,而且切线相同.(这时候你甚至已经难以画清了)
再进一步让2阶导相等,那么不只是切线相同,而且凹凸性也相同.
...
那么要求直到n阶导相等就会让两个函数越来越相似了.
3.对于估计(30)^(1/3)我就大概说一下了.
取x0=27,展开即可.因为(27)^(1/3)容易得到,而且离30近.
由于泰勒公式里的n是有限的，如果不考虑余项的话，函数和其在某点处的泰勒公式是不相等的，（但是n无限的话一般就相等，那是无穷级数的内容了。）你写的那个式子里没有余项，所以是不能划等号的，它们相差一个比(x-x0)^n更高阶的无穷小量，用拉格朗日型余项表示为f‘(n+1)(ξ)(x-x0)^(n+1)/(n+1)!，f'(n+1)表示n=1阶导数，注意这个n+1阶导数是在x和x0之间的某一中值ξ处取值...
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由于泰勒公式里的n是有限的，如果不考虑余项的话，函数和其在某点处的泰勒公式是不相等的，（但是n无限的话一般就相等，那是无穷级数的内容了。）你写的那个式子里没有余项，所以是不能划等号的，它们相差一个比(x-x0)^n更高阶的无穷小量，用拉格朗日型余项表示为f‘(n+1)(ξ)(x-x0)^(n+1)/(n+1)!，f'(n+1)表示n=1阶导数，注意这个n+1阶导数是在x和x0之间的某一中值ξ处取值的，只有加上这一项，f(x)才和它在x0点的泰勒展开式相等。用泰勒公式做近似计算时通常就不考虑余项了，虽然只要n阶可导的函数都可以写出泰勒公式，但实际能用来做近似计算的并不多，例如你说的三次根号x，计算它在某点各阶导数是得不出具体数值的（虽然存在），所以在它的泰勒公式中各项系数都是不知道的，因此这个展开式对于近似计算就没什么用。
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