作业帮帮我推导个积分公式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 21:15:27
帮我推导个积分公式
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帮我推导个积分公式
本题的结果可以有四种形式,请参看下图,
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∫ √(x^2+a^2) /x dx
=∫ x√(x^2+a^2) /x^2 dx
= 1/2 ∫ √(x^2+a^2) /[(x^2+a^2)-a^2] d(x^2+a^2)
令: √(x^2+a^2) = t
= 1/2 ∫ t /[t^2-a^2] dt^2
= ∫ [(t^2-a^2)+a^2]/[t^2-a^2] dt
= t +...
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∫ √(x^2+a^2) /x dx
=∫ x√(x^2+a^2) /x^2 dx
= 1/2 ∫ √(x^2+a^2) /[(x^2+a^2)-a^2] d(x^2+a^2)
令: √(x^2+a^2) = t
= 1/2 ∫ t /[t^2-a^2] dt^2
= ∫ [(t^2-a^2)+a^2]/[t^2-a^2] dt
= t + a^2∫ 1/[t^2-a^2] dt
= t + a/2*∫[1/(t-a) - 1/(t+a)] dt
= t + a/2*ln|(t-a)/(t+a)| + C
= t + a/2*ln|(t^2-a^2)/(t+a)^2)| + C
= √(x^2+a^2) + a*ln|x/(√(x^2+a^2)+a)| + C
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x=atanm
m=(arctanx)/a
x²+a²=a²sec²a
dx=asec²mdm
原式=∫(asecm/atanm)asec²mdm
=a∫(1/cosm)/(sinm/cosm)(1/cos²m)dm
=a∫(cos²m/sinm)dm
=a∫(1...
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x=atanm
m=(arctanx)/a
x²+a²=a²sec²a
dx=asec²mdm
原式=∫(asecm/atanm)asec²mdm
=a∫(1/cosm)/(sinm/cosm)(1/cos²m)dm
=a∫(cos²m/sinm)dm
=a∫(1-sin²m)/sinmdm
=a∫cscmdm-a∫sinmdm
∫cscmdm
=∫dm/sinm
=∫sinmdm/sin²m
=-∫dcosm/sin²m
=∫dcosm/(cos²m-1)
=(1/2)[∫dcosm/(cosm-1)-∫dcosm/(cosm+1)]
=(1/2)(ln|cosm-1|-ln|cosm+1|)+C
=(1/2)ln|(cosm-1)/(cosm+1)|+C
(对数里分子分母都乘以cosm-1)
=(1/2)ln|(cosm-1)²/sin²m|+C
=ln|(cosm-1)/sinm|+C
=ln|cotm-cscm|+C
所以原式=aln|cotm-cscm|+acosm+C
=aln|cot[(arctanx)/a]-csc[(arctanx)/a]|+acos[(arctanx)/a]+C
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一楼Poor！不知道怎么代回变量，结果荒唐。浪得虚名！
二楼Good！
三楼Perfect！
这种题摸到了“超一流”老底了。
一楼的错误在于：
1、不知道分式分解，所以出现了丢三落四的结果，积分过程遗漏积分项；
2、不知道如何将三角函数的代换，换回原形。所以，结果才会乱七八糟；
3、在反三角函数的化简上，不知所措。...
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这种题摸到了“超一流”老底了。
一楼的错误在于：
1、不知道分式分解，所以出现了丢三落四的结果，积分过程遗漏积分项；
2、不知道如何将三角函数的代换，换回原形。所以，结果才会乱七八糟；
3、在反三角函数的化简上，不知所措。
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