若a,b∈R,|a|+|b|≤1,且方程x^2+ax+b=0的两根x1,x2的绝对值至少有一个不小于1.求证:|a|+|b|=1.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/15 18:16:56
若a,b∈R,|a|+|b|≤1,且方程x^2+ax+b=0的两根x1,x2的绝对值至少有一个不小于1.求证:|a|+|b|=1.

若a,b∈R,|a|+|b|≤1,且方程x^2+ax+b=0的两根x1,x2的绝对值至少有一个不小于1.求证:|a|+|b|=1.
若a,b∈R,|a|+|b|≤1,且方程x^2+ax+b=0的两根x1,x2的绝对值至少有一个不小于1.求证:|a|+|b|=1.

若a,b∈R,|a|+|b|≤1,且方程x^2+ax+b=0的两根x1,x2的绝对值至少有一个不小于1.求证:|a|+|b|=1.
证明:x1,x2的绝对值至少有一个不小于1
设|x1|≥1
则|x1|+|x2|≥1
根据韦达定理:x1+x2=-a
|a|=|x1+x2|
x1·x2=b
|b|=|x1·x2|=|x1|·|x2|
|a|+|b|=|x1+x2|+|x1·x2|≥|x1|+|x2|+|x2|≥|x1+x2-x2|=|x1|≥1
∴|a|+|b|=1是唯一解

作图,作符合ab的二次方程的图像,找跟与ab的关系;
或反证法