高二数学关于双曲线的一道难题已知F是双曲线x²/4-y²/12=1的左焦点,A（1,4）,P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值是多少?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/07 03:44:34

高二数学关于双曲线的一道难题已知F是双曲线x²/4-y²/12=1的左焦点,A（1,4）,P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值是多少?
高二数学关于双曲线的一道难题
已知F是双曲线x²/4-y²/12=1的左焦点,A（1,4）,P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值是多少?

高二数学关于双曲线的一道难题已知F是双曲线x²/4-y²/12=1的左焦点,A（1,4）,P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值是多少?
本题容易犯的错误是
|PF|+|PA|≥|FA|,（三角形中两边之和大于第三边）
但是等号成立的条件是P是FA与双曲线右支的交点,无法满足,所以需要转化
F是双曲线x²/4-y²/12=1的左焦点
设F‘是双曲线x²/4-y²/12=1的右焦点
a²=4,b²=12
∴ a=2,c²=a²+b²=16
∴ F’（4,0）
利用双曲线的定义,P在右支上
|PF|-|PF’|=2a=4
∴ |PF|+|PA|
=4+|PF'|+|PA|
≥ 4+|F'A| （三角形中两边之和大于第三边）
=4+√[(4-1)²+(0-4)²]
=4+5
=9
等号成立时,P是线段AF'与双曲线的交点.
∴ |PF|+|PA|的最小值是9

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