怎么用反证法证明根号3是无理数?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 22:19:06
怎么用反证法证明根号3是无理数?

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怎么用反证法证明根号3是无理数?

怎么用反证法证明根号3是无理数?
证明,设根号3为有理数,则存在正整数p和q（p,q互质）,使得根号3=p/q
两边平方,3=P^2/q^2
p^2=3q^2,
则P一定是3的倍数,q也一定是3的倍数
与p、q互质矛盾.
故有反证法的原理,知根号3为无理数

假设结论不成立，即根号3为有理数，
那么存在正整数p和q（p,q无公因子，或称互质）,使得根号3=p/q(有理数的性质)，两边平方，得到
p^2=3*q^2,
接下来分析，（具体过程可以有多种，但是都是从公因子3入手，引出矛盾）
因为等号右边有因子3，且3为质数，因此p一定是3的倍数，设p=3r,代入等式并约分得到，
3*r^2=q^2
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假设结论不成立，即根号3为有理数，
那么存在正整数p和q（p,q无公因子，或称互质）,使得根号3=p/q(有理数的性质)，两边平方，得到
p^2=3*q^2,
接下来分析，（具体过程可以有多种，但是都是从公因子3入手，引出矛盾）
因为等号右边有因子3，且3为质数，因此p一定是3的倍数，设p=3r,代入等式并约分得到，
3*r^2=q^2
同理，q也一定是3的倍数，于是p、q均为3的倍数，与p、q互质矛盾。
故有反证法的原理，知根号3为无理数

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