作业帮怎样用反证法证明根号3是无理数啊
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 07:04:33
怎样用反证法证明根号3是无理数啊
怎样用反证法证明根号3是无理数啊
怎样用反证法证明根号3是无理数啊
分析：
①有理数的概念：
“有限小数”和“无限循环小数”统称为有理数.
整数和分数也统称为有理数.
所有的分数都是有理数,分子除以分母,最终一定是循环的.
②无理数的概念：无限不循环小数,可引申为“开方开不尽的数”.
③反证法的要领是假设一个明显荒谬的结论成立,然后正确地证明原假设是错误的.
假设(√3)是有理数,
∵ 1＜3＜4
∴(√1)＜(√3)＜(√4)
即：1＜(√3)＜2
∴(√3)不是整数.
∵整数和分数也统称为有理数,而(√3)不是整数
∴在假设“(√3)是有理数”的前提下,(√3)只能是一个分子分母不能约分的分数.
此时假设 (√3) = m/n(m、n均为正整数且互质,二者不能再约分,即二者除1外再无公因数)
两边平方,得：
m² / n² = 3
∴m² 是质数3的倍数
我们知道,如果两个数的乘积是3的倍数,那么这两个数当中至少有一个数必是3的倍数.
∴由“m² (m与m的乘积) 是质数3的倍数”得：正整数m是3的倍数.
此时不妨设 m = 3k(k为正整数)
把“m = 3k” 代入“m² / n² = 3” ,得：
(9k²) / n² = 3
∴3k² = n²
即：n² / k² = 3
对比“m² / n² = 3“ 同理可证
正整数n也是3的倍数
∴正整数m和n均为3的倍数
这与“m、n均为正整数且互质”相矛盾.
意即由原假设出发推出了一个与原假设相矛盾的结论,
∴原假设“(√3) = m/n(m、n均为正整数且互质,二者不能再约分,即二者除1外再无公因数)”是不成立的.
∴(√3) 不能是一个分子分母不能约分的分数
而已证(√3) 不是整数
∴(√3) 既 不是整数也不是分数,即(√3) 不是有理数.
∴(√3) 是无理数.
证明，设根号3为有理数，则存在正整数p和q（p,q互质）,，使得根号3=p/故有反证法的原理，知根号3为无理数 假设结论不成立，即根号3为有理数
证明，设根号3为有理数，则存在正整数p和q（p,q互质）,，使得根号3=p/q
两边平方，3=P^2/q^2
p^2=3q^2,
则P一定是3的倍数，q也一定是3的倍数
与p、q互质矛盾。
故有反证法的原理，知根号3为无理数
证明：假设 是有理数．
∵1＜ 根号3＜2，∴ 不是整数，
那么存在两个互质的正整数p，q，使得根号3 =p/q ，
于是p=根号3 q．
两边平方，得p 2 =3q 2 ．
∵3q 2 是3的倍数，
∴p 2 是3的倍数，
又∵p是正整数，
∴p是3的倍数．
设p=3k（k为正整数），代入上式，得3q 2 =9k 2 ，
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证明：假设 是有理数．
∵1＜ 根号3＜2，∴ 不是整数，
那么存在两个互质的正整数p，q，使得根号3 =p/q ，
于是p=根号3 q．
两边平方，得p 2 =3q 2 ．
∵3q 2 是3的倍数，
∴p 2 是3的倍数，
又∵p是正整数，
∴p是3的倍数．
设p=3k（k为正整数），代入上式，得3q 2 =9k 2 ，
∴q 2 =3k 2 ，
同理q也是3的倍数，
这与前面假设p，q互质矛盾．
因此假设 是根号3有理数不成立．
故 根号3是无理数．
收起
证明，设根号3为有理数，则存在正整数p和q（p,q互质）,，使得根号3=p/q
两边平方，3=P^2/q^2
p^2=3q^2,
则P一定是3的倍数，q也一定是3的倍数
与p、q互质矛盾。
故有反证法的原理，知根号3为无理数